medidas de tendencia central

profesora:claudia ceballos 

estudiante:jhon mario ocampo

grado:8-1

 medidas de tendencia central

• 
  

Se debe tener en cuenta que existen variables cualitativas y variables cuantitativas, por lo que las medidas de posición o medidas de tendencia se usan de acuerdo al tipo de variable que se está observando, en este caso se observan variables cuantitativas.

Artículo principal: Media aritmética

La media aritmética es el valor obtenido por la suma de todos sus valores dividida entre el número de sumadores.

Por ejemplo, las notas de 5 alumnos en una prueba:

niño     nota

 1       6,0    ·Primero, se suman las notas:
 2       5,4        6,0+5,4+3,1+7,0+6,1 = 27,6
 3       3,1    ·Luego el total se divide entre la cantidad de alumnos:
 4       7,0         27,6/5=5,52
 5       6,1    

· La media aritmética en este ejemplo es 5,52

La media aritmética es, probablemente, uno de los parámetros estadísticos más extendidos.² Se le llama también promedio o, simplemente, media.

Definición formal[editar]

Dado un conjunto numérico de datos, x₁, x₂, ..., x_n, se define su media aritmética como

${\displaystyle {\overline {x}}={\frac {x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}{n}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$

Esta definición varía, aunque no sustancialmente, cuando se trata de variables continuas, esto es, también puede calcularse para variables agrupadas en intervalos.

Propiedades[editar]

Las principales propiedades de la media aritmética son:³

• Su cálculo es muy sencillo y en él intervienen todos los datos.

• Su valor es único para una serie de datos dada.

• Se usa con frecuencia para comparar poblaciones, aunque es más apropiado acompañarla de una medida de dispersión.

• Se interpreta como "punto de equilibrio" o "centro de masas" del conjunto de datos, ya que tiene la propiedad de equilibrar las desviaciones de los datos respecto de su propio valor:

${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\overline {x}}={\overline {x}}-{\overline {x}}=0}$

• Minimiza las desviaciones cuadráticas de los datos respecto de cualquier valor prefijado, esto es, el valor de ${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-k)^{2}}$ es mínimo cuando ${\displaystyle k={\overline {x}}}$. Este resultado se conoce como Teorema de König. Esta propiedad permite interpretar uno de los parámetros de dispersión más importantes: la varianza.

• Se ve afectada por transformaciones afines (cambios de origen y escala), esto es, si

${\displaystyle x_{i}'=ax_{i}+b}$ entonces ${\displaystyle {\overline {x'}}=a{\overline {x}}+b}$, donde ${\displaystyle {\overline {x'}}}$ es la media aritmética de los ${\displaystyle x_{i}'}$, para i = 1, ..., n y a y b números reales.

• Es poco sensible a fluctuaciones muestrales, por lo que es un parámetro muy útil en inferencia estadística.

Inconvenientes de su uso[editar]

Este parámetro, aún teniendo múltiples propiedades que aconsejan su uso en situaciones muy diversas, tiene también algunos inconvenientes, como son:

• Para datos agrupados en intervalos (variables continuas) su valor oscila en función de la cantidad y amplitud de los intervalos que se consideren.

La estatura media como resumen de una población homogénea (abajo) o heterogénea (arriba).

• Es una medida a cuyo significado afecta sobremanera la dispersión, de modo que cuanto menos homogéneos sean los datos, menos información proporciona. Dicho de otro modo, poblaciones muy distintas en su composición pueden tener la misma media.⁴ Por ejemplo, un equipo de baloncesto con cinco jugadores de igual estatura, 1,95 m, evidentemente, tendría una estatura media de 1,95 m, valor que representa fielmente a esta población homogénea. Sin embargo, un equipo de jugadores de estaturas más heterogéneas, 2,20 m, 2,15 m, 1,95 m, 1,75 m y 1,70 m, por ejemplo, tendría también, como puede comprobarse, una estatura media de 1,95 m, valor que no representa a casi ninguno de sus componentes.

• En el cálculo de la media no todos los valores contribuyen de la misma manera. Los valores altos tienen más peso que los valores cercanos a cero. Por ejemplo, en el cálculo del salario medio de una empresa, el salario de un alto directivo que gane 10.000 € tiene tanto peso como el de diez empleados "normales" que ganen 1.000 €. En otras palabras, se ve muy afectada por valores extremos.

• No se puede determinar si en una distribución de frecuencias hay intervalos de clase abiertos.

Media aritmética ponderada[editar]

A veces puede ser útil otorgar pesos o valores a los datos dependiendo de su relevancia para determinado estudio. En esos casos se puede utilizar una media ponderada.

Si ${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}$ son nuestros datos y ${\displaystyle w_{1},w_{2},...,w_{n}}$ son sus "pesos" respectivos, la media ponderada se define de la siguiente forma:

${\displaystyle {\overline {x}}={\frac {x_{1}w_{1}+x_{2}w_{2}+...+x_{n}w_{n}}{w_{1}+w_{2}+...+w_{n}}}}$

Media muestral[editar]

Esencialmente, la media muestral es el mismo parámetro que el anterior, aunque el adjetivo "muestral" se aplica a aquellas situaciones en las que la media aritmética se calcula para un subconjunto de la población objeto de estudio.

La media muestral es un parámetro de extrema importancia en la inferencia estadística, siendo de gran utilidad para la estimación de la media poblacional, entre otros usos.

Moda[editar]

Artículo principal: Moda (estadística)

La moda es el dato más repetido de la encuesta, el valor de la variable con mayor frecuencia absoluta.⁵ En cierto sentido la definición matemática corresponde con la locución "estar de moda", esto es, ser lo que más se lleva.

Su cálculo es extremadamente sencillo, pues solo necesita un recuento. En variables continuas, expresadas en intervalos, existe el denominado intervalo modal o, en su defecto, si es necesario obtener un valor concreto de la variable, se recurre a la interpolación.

Por ejemplo, el número de personas en distintos vehículos en una carretera: 5-7-4-6-9-5-6-1-5-3-7. El número que más se repite es 5, entonces la moda es 5.

Hablaremos de una distribución bimodal de los datos, cuando encontremos dos modas, es decir, dos datos que tengan la misma frecuencia absoluta máxima. Cuando en una distribución de datos se encuentran tres o más modas, entonces es multimodal. Por último, si todas las variables tienen la misma frecuencia diremos que no hay moda.

Cuando tratamos con datos agrupados en intervalos, antes de calcular la moda, se ha de definir el intervalo modal. El intervalo modal es el de mayor frecuencia absoluta.

La moda, cuando los datos están agrupados, es un punto que divide el intervalo modal en dos partes de la forma p y c-p, siendo c la amplitud del intervalo, que verifiquen que:

${\displaystyle {\frac {p}{c-p}}={\frac {n_{i}-n_{i-1}}{n_{i}-n_{i+1}}}}$

Siendo ${\displaystyle n_{i}}$ la frecuencia absoluta del intervalo modal y ${\displaystyle n_{i-1}}$ y ${\displaystyle n_{i+1}}$ las frecuencias absolutas de los intervalos anterior y posterior, respectivamente, al intervalo modal.

Las calificaciones en la asignatura de Matemáticas de 39 alumnos de una clase viene dada por la siguiente tabla (debajo):

Calificaciones	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Número de alumnos	2	2	4	5	8	9	3	4	2

Propiedades[editar]

Sus principales propiedades son:

• Cálculo sencillo.
• Interpretación muy clara.
• Al depender solo de las frecuencias, puede calcularse para variables cualitativas. Es por ello el parámetro más utilizado cuando al resumir una población no es posible realizar otros cálculos, por ejemplo, cuando se enumeran en medios periodísticos las características más frecuentes de determinado sector social. Esto se conoce informalmente como "retrato robot".⁶

Inconvenientes[editar]

• Su valor es independiente de la mayor parte de los datos, lo que la hace muy sensible a variaciones muestrales. Por otra parte, en variables agrupadas en intervalos, su valor depende excesivamente del número de intervalos y de su amplitud.
• Usa muy pocas observaciones, de tal modo que grandes variaciones en los datos fuera de la moda, no afectan en modo alguno a su valor.
• No siempre se sitúa hacia el centro de la distribución.
• Puede haber más de una moda en el caso en que dos o más valores de la variable presenten la misma frecuencia (distribuciones bimodales o multimodales).

Mediana[editar]

Artículo principal: Mediana (estadística)

La mediana es un valor de la variable que deja por debajo de sí a la mitad de los datos, una vez que éstos están ordenados de menor a mayor.⁷ Por ejemplo, la mediana del número de hijos de un conjunto de trece familias, cuyos respectivos hijos son: 3, 4, 2, 3, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1 y 1, es 2, puesto que, una vez ordenados los datos: 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, el que ocupa la posición central es 2:

${\displaystyle {\rm {\underbrace {1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 1,} _{Mitad\;inferior}\;\underbrace {\color {Red}2,} _{Mediana\;}\;\underbrace {2,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 4} _{Mitad\;superior}}}}$

En caso de un número par de datos, la mediana no correspondería a ningún valor de la variable, por lo que se conviene en tomar como mediana el valor intermedio entre los dos valores centrales. Por ejemplo, en el caso de doce datos como los siguientes:

${\displaystyle {\rm {\underbrace {1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 1,} _{Valores\;inferiores}\;\underbrace {\color {Red}1,\ 2,} _{Valores\;intermedios}\;\underbrace {2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 4} _{Valores\;superiores}}}}$

Se toma como mediana ${\displaystyle 1,2={\frac {{\color {Red}1}+{\color {Red}2}}{2}}}$

Existen métodos de cálculo más rápidos para datos más numerosos (véase el artículo principal dedicado a este parámetro). Del mismo modo, para valores agrupados en intervalos, se halla el "intervalo mediano" y, dentro de éste, se obtiene un valor concreto por interpolación.

Cálculo de la mediana para datos agrupados[editar]

Primero hallamos las frecuencias absolutas acumuladas Fi (ver tabla del margen derecho).

Así, aplicando la fórmula asociada a la mediana para n impar, obtenemos X(39+1)/2 = X20 y basándonos en la fórmula que hace referencia a las frecuencias absolutas:

N_i-1< n/2 < _i = N19 < 19.5 < N20

Por tanto la mediana será el valor de la variable que ocupe el vigésimo lugar. En nuestro ejemplo, 21 (frecuencia absoluta acumulada para X_i = 5) > 19.5 con lo que M_e = 5 puntos (es aconsejable no olvidar las unidades; en este caso como estamos hablando de calificaciones, serán puntos)

La mitad de la clase ha obtenido un 5 o menos, y la otra mitad un 5 o más.

Ejemplo (N par)

Las calificaciones en la asignatura de Matemáticas de 38 alumnos de una clase viene dada por la siguiente tabla (debajo):

Calificaciones	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Número de alumnos	2	2	4	5	6	9	4	4	2

xi	fi	Fi
1	2	2
2	2	4
3	4	8
4	5	13
5	6	19 = 19
6	9	28
7	4	32
8	4	36
9	2	38

Cálculo de la Mediana:

Primero hallamos las frecuencias absolutas acumuladas F_i (ver tabla margen derecho).

Si volvemos a utilizar la fórmula asociada a la mediana para n par, obtenemos X(38/2) = X19 y basándonos en la fórmula que hace referencia a las frecuencias absolutas --> N_i-1< n/2 < N_i = N18 < 19 < N19

Con lo cual la mediana será la media aritmética de los valores de la variable que ocupen el decimonoveno y el vigésimo lugar.

En nuestro ejemplo, el lugar decimonoveno lo ocupa el 5 y el vigésimo el 6, (desde el vigésimo hasta el vigésimo octavo)

con lo que M_e = (5+6)/2 = 5,5 puntos.

Propiedades e inconvenientes[editar]

Las principales propiedades de la mediana son:⁸

• Es menos sensible que la media a oscilaciones de los valores de la variable. Un error de transcripción en la serie del ejemplo anterior en, pongamos por caso, el último número, deja a la mediana inalterada.
• Como se ha comentado, puede calcularse para datos agrupados en intervalos, incluso cuando alguno de ellos no está acotado.
• No se ve afectada por la dispersión. De hecho, es más representativa que la media aritmética cuando la población es bastante heterogénea. Suele darse esta circunstancia cuando se resume la información sobre los salarios de un país o una empresa. Hay unos pocos salarios muy altos que elevan la media aritmética haciendo que pierda representatividad respecto al grueso de la población. Sin embargo, alguien con el salario "mediano" sabría que hay tanta gente que gana más dinero que él, como que gana menos.

Sus principales inconvenientes son que en el caso de datos agrupados en intervalos, su valor varía en función de la amplitud de estos. Por otra parte, no se presta a cálculos algebraicos tan bien como la media aritmética.

Media

Utilice la media para describir un conjunto entero de observaciones con un solo valor que representa el centro de los datos. Muchos análisis estadísticos utilizan la media como un punto de referencia estándar. La media es la suma de todas las observaciones dividida entre el número de observaciones.

Por ejemplo, el tiempo de espera (en minutos) de cinco clientes de un banco es: 3, 2, 4, 1 y 2. El tiempo medio de espera es:

En promedio, un cliente espera 2.4 minutos para ser atendido en el banco.

Mediana

Utilice la mediana para describir un conjunto entero de observaciones con un solo valor que representa el centro de los datos. La mitad de las observaciones está por encima de la mediana y la otra mitad está por debajo de ésta. Se determina al jerarquizar los datos y hallar el número de observación [N + 1] / 2. Si hay un número par de observaciones, la mediana se extrapola como el valor que está justo en el medio entre el valor de las observaciones N / 2 y [N / 2] + 1.

Para estos datos ordenados, la mediana es 13. Es decir, el 50% de los valores es menor que o igual a 13 y el 50% de los valores es mayor que o igual a 13.

Moda

La moda es el valor que ocurre con más frecuencia en un conjunto de observaciones. Minitab también muestra cuántos puntos de los datos son iguales a la moda. La moda se puede utilizar con la media y la mediana para proporcionar una caracterización general de la distribución de los datos. Mientras que la media y la mediana requieren un cálculo, la moda se obtiene simplemente contando el número de veces que cada valor ocurre en un conjunto de datos.

El identificar la moda puede ayudar a comprender la distribución. Una distribución con más de una moda puede indicar que usted en realidad tomó la muestra de una población mixta. Por ejemplo, usted puede haber recogido datos de tiempo de espera de clientes que desean cobrar cheques y de clientes que desean solicitar una hipoteca, todos juntos. Para entender mejor sus datos, estos dos casos se deberían recopilar por separado. Si tiene más de dos modas, la distribución es multimodal.

numeros irracionales

grado: 8-3 

profesora: claudia ceballos

estudiantes: marlon morales-juan camilo duque

NUMEROS IRRACIONALES-ALGEBRA

Número irracional

En matemáticas, un número irracional es un número que no puede ser expresado como una fracción ^m⁄_n, donde m y n sean enteros y n sea diferente de cero. Es cualquier número real que no es racional. Un decimal infinito (es decir, con infinitas cifras) aperiódico, como √7 = 2,645751311064591 no puede representar un número racional. A tales números se les nombra "números reales o irracionales". Esta denominación significa la imposibilidad de representar dicho número como razón de dos números enteros.

Dado que en la práctica de medir la longitud de un segmento de recta solo puede producir como resultado un número fraccionario, en un inicio, los griegos identificaron los números con las longitudes de los segmentos de recta.² Al identificar del modo mencionado, surge la necesidad de considerar una clase de números más amplia que la de los números fraccionarios. Se atribuye a Pitágoras de Samos (580- 500a. C.) y su escuela el descubrimiento de la existencia de segmentos de recta inconmensurables con respecto a un segmento que se toma como unidad en un sistema de medición. Pues, existen segmentos de recta cuya longitud medida en este sistema no es un número fraccionario.²

Por ejemplo, en un cuadrado, la diagonal de este es inconmensurable con respecto a sus lados. Este hecho ocasionó una convulsión en el mundo científico antiguo. Provocó una ruptura entre la geometría y la aritmética de aquella época, ya que esta última, por entonces, se sustentaba en la teoría de la proporcionalidad, la cual solo se aplica a magnitudes conmensurables.

Intentaron salvar el obstáculo distinguiendo entre el concepto de número y el de longitud de un segmento de recta, y tomaron estos últimos como elementos básicos para sus cálculos. De tal modo, a los segmentos inconmensurables con respecto a la unidad tomada como patrón de medida les asignaron un nuevo tipo de magnitud: los números irracionales, los cuales por largo tiempo no se reconocieron como verdaderos números.²

Notación[editar]

No existe una notación universal para indicarlos, como ${\displaystyle \mathbb {I} }$, que es generalmente aceptada. Las razones son que el conjunto de Números Irracionales no constituyen alguna estructura algebraica, como sí lo son los naturales (${\displaystyle \mathbb {N} }$), los enteros (${\displaystyle \mathbb {Z} }$), los racionales (${\displaystyle \mathbb {Q} }$), los reales (${\displaystyle \mathbb {R} }$) y los complejos (${\displaystyle \mathbb {C} }$), por un lado, y que la ${\displaystyle \mathbb {I} }$ es tan apropiada para designar al conjunto de Números Irracionales como al conjunto de Números Imaginarios Puros, lo cual puede crear confusión. Fuera de ello,

${\displaystyle \mathbb {I} :=\mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} =\{x\in \mathbb {R} |x\notin \mathbb {Q} \}}$

Clasificación[editar]

Tras distinguir los números componentes de la recta real en tres categorías (no excluyentes): (naturales, enteros y racionales), podría parecer que ha terminado la clasificación de los números, pero aún quedan "huecos" por rellenar en la recta de los números reales. Los números irracionales son los elementos de dicha recta que cubren los vacíos que dejan los números racionales. Debe notarse que aquí se está entendiendo como "recta real" el conjunto de las clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de números racionales. Puede demostrarse que el límite de algunas de esas sucesiones (de hecho la mayor parte de ellas), no es un número racional, por lo que si no se consideraran racionales existirían "huecos" en el conjunto de límites.

Los números irracionales son los elementos de la recta real que no pueden expresarse mediante el cociente de dos enteros y se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales aperiódicas. De este modo, puede definirse al número irracional como una fracción decimal aperiódica infinita.³ En general, toda expresión en números decimales es solo una aproximación en números racionales al número irracional referido, por ejemplo, el número racional 1,4142135 es solo una aproximación a 7 cifras decimales del número irracional raíz cuadrada de 2, el cual posee infinitas cifras decimales no periódicas.

Entonces, se dice con toda propiedad que el número √2 es aproximadamente igual a 1,4142135 en 7 decimales, o bien es igual a 1,4142135… donde los tres puntos hacen referencia a los infinitos decimales que hacen falta y que jamás terminaríamos de escribir. Debido a ello, los números irracionales más conocidos son identificados mediante símbolos especiales; los tres principales son los siguientes:

1. ${\displaystyle \pi }$ (Número "pi" 3,14159...): razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.
2. e (Número "e" 2,7182...): ${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$
3. ${\displaystyle \Phi }$ (Número "áureo" 1,6180...): ${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$
4. las soluciones reales de x² - 3 = 0; de x⁵ -7 = 0; de x³ = 11; 3^x = 5; sen 7º, etc³

Los números irracionales se clasifican en dos tipos:

1. Número algebraico: Son la solución de alguna ecuación algebraica y se representan por un número finito de radicales libres o anidados en algunos casos^{n. 1} ; si "x" representa ese número, al eliminar radicales del segundo miembro mediante operaciones inversas, queda una ecuación algebraica de cierto grado. Todas las raíces no exactas de cualquier orden son irracionales algebraicos. Por ejemplo, el número áureo es una de las raíces de la ecuación algebraica ${\displaystyle \scriptstyle x^{2}-x-1=0}$, por lo que es un número irracional algebraico.
2. Número trascendente: No pueden representarse mediante un número finito de raíces libres o anidadas; provienen de las llamadas funciones trascendentes (trigonométricas, logarítmicas y exponenciales, etc.) También surgen al escribir números decimales no periódicos al azar o con un patrón que no lleva periodo definido, respectivamente, como los dos siguientes:

${\displaystyle \ 0,193650278443757}$...

${\displaystyle \ 0,101001000100001}$...

Los llamados números trascendentes tienen especial relevancia ya que no pueden ser solución de ninguna ecuación algebraica. Los números pi y e son irracionales trascendentes, puesto que no pueden expresarse mediante radicales.

Los números irracionales no son numerables, es decir, no pueden ponerse en biyección con el conjunto de los números naturales. Por extensión, los números reales tampoco son contables ya que incluyen el conjunto de los irracionales.

Propiedades[editar]

• La suma y la diferencia de un número racional y de un número irracional es un número irracional.
• El producto de un racional diferente de cero por un irracional es un número irracional.
• El cociente entre un racional no nulo y un irracional, es un número irracional.
• El inverso de un número irracional es número irracional.
• Sea un binomio, formado por un racional más un radical de segundo orden, o la suma de dos radicales de segundo orden, que es irracional. Entonces su conjugado es irracional.
• Los valores de logaritmos vulgares o naturales y los valores de las razones trigonométricas, la inmensa mayoría no numerable, son irracionales.
• El número de Gelfond (2^√2) es un número irracional trascendente⁴
• La raíz cuadrada de un número natural no cuadrado perfecto es un número irracional; también lo es la raíz enésima de un natural p que no es potencia enésima perfecta.
• Entre dos racionales distintos, existe por lo menos, un número irracional⁵
• Las razones trigonométricas de un ángulo son irracionales, excepcionalmente, una de ellas en el caso de que dos de los lados del triángulo rectángulo sean racionales.⁵
• La medida de Lebesgue de cualquier intervalo cerrado del tipo ${\displaystyle \scriptstyle [a,b]\cap \mathbb {I} \subset \mathbb {R} }$ es igual a la medida b-a. Eso implica que si existiera un procedimiento para seleccionar al azar un número de dicho intervalo, con probabilidad 1 el número obtenido sería irracional.
• Cualquier número irracional que está en un intervalo abierto de números reales es punto de acumulación de los números reales de tal intervalo, como de los números irracionales del mismo. Por ejemplo: √5 es punto de acumulación de los números reales del intervalo K = <1;4>, como también de los números irracionales de K.⁶
• El conjunto de los números irracionales es equivalente (tienen el mismo cardinal) al conjunto de los números reales.⁷

  Números Irracionales

  El concepto de números irracionales proviene de la Escuela Pitagórica, que descubrió la existencia de números irracionales, es decir que no eran enteros ni racionales como fracciones. Esta escuela, los llamó en primer lugar números inconmensurables.

  Definición de números irracionales

  ¿Qué son números irracionales? Los números irracionales tienen como definición que son números que poseen infinitas cifras decimales no periódicas, que por lo tanto no pueden ser expresados como fracciones.
  
  
  Estos números pueden haber sido descubiertos al tratar de resolver la longitud de un cuadrado según el Teorema de Pitágoras, siendo el resultado el número

  2–√o raíz cuadrada de dos, el ejemplo de números irracionales más claro e inmediato, cuya respuesta a su vez posee infinitas cifras decimales que al no poder ser fraccionado, fue llamado irracional, en el sentido de no poder escribirlo como una ración o varias raciones o fracciones.

  Para distinguir los números irracionales de los racionales, debemos tomar en cuenta que los números racionales si se pueden escribir de manera fraccionada o racional, por ejemplo: 18/5 que es igual a 3,6 por lo tanto es un número racional a diferencia de la raíz cuadrada de dos en cuyo resultado se obtienen infinito número de cifras decimales, y su fraccionamiento resulta imposible.

  Podrías intentar encontrar la respuesta en una calculadora, y según el número de decimales con la cual la tengas programada, obtendrás algunos resultados: 1.4142135 esta es la respuesta de √2 con siete decimales, pero la cifra se irá alargando pues tiene infinitos decimales. De esta manera podemos definir a los números irracionales como un decimal infinito no periódico, es decir que cualquier representación de un número irracional, solo es una aproximación en números racionales.

  10 Ejemplos de Números Irracionales

  Se les llama números irracionales a todos los números que expresan una cantidad matemática que no puede expresarse como una fracción, ya que al realizar la división los números decimales se prolongan indefinidamente. Además, no se repiten.

  La característica de que los números no se repitan es muy importante para distinguirlos, ya que esto también sirve para determinar si son representables o no, como una fracción. Por ejemplo, el producto de la división del 1 entre 3, nos va a dar como decimal periódico el número 3 hasta el infinito (0.333333333…) Pero este número sí se puede representar como fracción.

  En cambio en los números irracionales la relación de números no sigue un orden o periodicidad, y también se prolongan al infinito. Esto sucede con la raíz cuadrada del número 2. Los primeros 40 decimales son: 1,4142135623730950488016887242096980785696… que como podemos ver, no tienen una periodicidad (es decir, no hay un patrón numérico) y por lo tanto, no pueden expresarse en forma fraccionaria.

  Se cuenta el mito de que Hipaso, un estudiante de Pitágoras, durante un viaje en barco estaba estudiando las raíces cuadradas, cuando al intentar sacar la raíz cuadrada del número 2, se encontró con este resultado, y también se dio cuenta de que no era posible representarla como una fracción, lo que, según la teoría de la perfección de los números de su maestro Pitágoras, de que todo número era representable mediante una fracción, esto era algo irracional, y así se lo hizo saber a su maestro. Cuando Pitágoras lo comprobó, fue tanto el enojo de otros estudiantes, que lanzaron a Hipaso al mar.

  Dado que estos números no se pueden representar como fracciones, se les representa con ciertos signos convencionales, o con la representación de la operación matemática, principalmente las raíces cuadradas, ya que de otro modo, se tendrían que escribir muchos decimales.

  30 ejemplos de números irracionales:

  1. √31 = 5.5677643628300219221194712989185…

  2. √999 = 31.606961258558216545204213985699…

  3. √2 = 1. 4142135623730950488016887242096980785696…

  4. √3 = 1.7320508075688772935274463415059…

  5. π = 3,14159265358979323846…

  6. φ = 1.618033988749894848204586834…

  7. El número e (el número de Euler) 2,7182818284590452353602874713527…

  8. √5 = 2.2360679774997896964091736687313…

  9. √7 = 2.6457513110645905905016157536393…

  10. √11 = 3.3166247903553998491149327366707…

  11. √13 = 3.6055512754639892931192212674705…

  12. √122 = 11.045361017187260774210913843344…

  13. √15 = 3.8729833462074168851792653997824…

  14. √17 = 4.1231056256176605498214098559741…

  15. √21 = 4.582575694955840006588047193728…

  16. √22 = 4.6904157598234295545656301135445…

  17. √23 = 4.7958315233127195415974380641627…

  18. √101 = 10.04987562112089027021926491276…

  19. √500 = 22.360679774997896964091736687313…

  20. √999 = 31.606961258558216545204213985699…

  21. √1000 = 31.622776601683793319988935444327…

  22. √1001 = 31.638584039112749143106291584801…

  23. √9 = 2.080083830519041145300568243579…

  24. √6 =1.817120592832139658891211756373…

  25. √5 = 1.7099759466766969893531088725439…

  26. √7 = 1,9129311827723891011991168395488…

  27. √3 = 1,4422495703074083823216383107801…

  28. √12 = 2,2894284851066637356160844238794…

  29. √13 = 2,3513346877207574895000163399569…

  30. √33 = 3,2075343299958264875525151717195…

Ejemplo de Números irracionales

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Autor: Redacción Ejemplode.com, año 2017

Existe un grupo de números que no se pueden expresar como números enteros, ni como números fraccionarios con denominador diferente de 0, a este grupo de número se les llama números irracionales.

Los números enteros al sumarse, restarse o multiplicarse dan como resultado un número entero, que puede ser positivo o negativo.

Los números fraccionarios expresan una parte de un todo, es decir, expresan una división, que se pueden sumar o restar de números enteros o de otros números fraccionarios. Además los productos de una división expresada en una fracción, puede producir un resultado decimal con números.

Los números enteros y fraccionarios son fácilmente ubicables en una recta numérica.

Muchos matemáticos desde la época de Pitágoras, se dieron cuenta de que entre los números fraccionarios existen huecos. Al mismo tiempo encontraron resultados de operaciones matemáticas que no expresaban resultados decimales exactos ni periódicos, sino que producían resultados con decimales infinitos y que no seguían un patrón. Como estos resultados no siguen la teoría de la perfección numérica de Pitágoras, por esta característica de no seguir un patrón es que se les llamaron números irracionales. También se dieron cuenta de que estos números llenaban los huecos de la recta numérica entre los números fraccionarios.

Para expresar un número irracional, generalmente se le representa como la fórmula matemática que le da origen. Así por ejemplo, al calcular la raíz cuadrada del número 2, el resultado es un número que no sigue ningún patrón numérico, y cuyos decimales se extienden al infinito:

Números irracionales

Números irracionales