numeros irracionales

grado: 8-3 

profesora: claudia ceballos

estudiantes: marlon morales-juan camilo duque

NUMEROS IRRACIONALES-ALGEBRA

Número irracional

En matemáticas, un número irracional es un número que no puede ser expresado como una fracción ^m⁄_n, donde m y n sean enteros y n sea diferente de cero. Es cualquier número real que no es racional. Un decimal infinito (es decir, con infinitas cifras) aperiódico, como √7 = 2,645751311064591 no puede representar un número racional. A tales números se les nombra "números reales o irracionales". Esta denominación significa la imposibilidad de representar dicho número como razón de dos números enteros.

Dado que en la práctica de medir la longitud de un segmento de recta solo puede producir como resultado un número fraccionario, en un inicio, los griegos identificaron los números con las longitudes de los segmentos de recta.² Al identificar del modo mencionado, surge la necesidad de considerar una clase de números más amplia que la de los números fraccionarios. Se atribuye a Pitágoras de Samos (580- 500a. C.) y su escuela el descubrimiento de la existencia de segmentos de recta inconmensurables con respecto a un segmento que se toma como unidad en un sistema de medición. Pues, existen segmentos de recta cuya longitud medida en este sistema no es un número fraccionario.²

Por ejemplo, en un cuadrado, la diagonal de este es inconmensurable con respecto a sus lados. Este hecho ocasionó una convulsión en el mundo científico antiguo. Provocó una ruptura entre la geometría y la aritmética de aquella época, ya que esta última, por entonces, se sustentaba en la teoría de la proporcionalidad, la cual solo se aplica a magnitudes conmensurables.

Intentaron salvar el obstáculo distinguiendo entre el concepto de número y el de longitud de un segmento de recta, y tomaron estos últimos como elementos básicos para sus cálculos. De tal modo, a los segmentos inconmensurables con respecto a la unidad tomada como patrón de medida les asignaron un nuevo tipo de magnitud: los números irracionales, los cuales por largo tiempo no se reconocieron como verdaderos números.²

Notación[editar]

No existe una notación universal para indicarlos, como ${\displaystyle \mathbb {I} }$, que es generalmente aceptada. Las razones son que el conjunto de Números Irracionales no constituyen alguna estructura algebraica, como sí lo son los naturales (${\displaystyle \mathbb {N} }$), los enteros (${\displaystyle \mathbb {Z} }$), los racionales (${\displaystyle \mathbb {Q} }$), los reales (${\displaystyle \mathbb {R} }$) y los complejos (${\displaystyle \mathbb {C} }$), por un lado, y que la ${\displaystyle \mathbb {I} }$ es tan apropiada para designar al conjunto de Números Irracionales como al conjunto de Números Imaginarios Puros, lo cual puede crear confusión. Fuera de ello,

${\displaystyle \mathbb {I} :=\mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} =\{x\in \mathbb {R} |x\notin \mathbb {Q} \}}$

Clasificación[editar]

Tras distinguir los números componentes de la recta real en tres categorías (no excluyentes): (naturales, enteros y racionales), podría parecer que ha terminado la clasificación de los números, pero aún quedan "huecos" por rellenar en la recta de los números reales. Los números irracionales son los elementos de dicha recta que cubren los vacíos que dejan los números racionales. Debe notarse que aquí se está entendiendo como "recta real" el conjunto de las clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de números racionales. Puede demostrarse que el límite de algunas de esas sucesiones (de hecho la mayor parte de ellas), no es un número racional, por lo que si no se consideraran racionales existirían "huecos" en el conjunto de límites.

Los números irracionales son los elementos de la recta real que no pueden expresarse mediante el cociente de dos enteros y se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales aperiódicas. De este modo, puede definirse al número irracional como una fracción decimal aperiódica infinita.³ En general, toda expresión en números decimales es solo una aproximación en números racionales al número irracional referido, por ejemplo, el número racional 1,4142135 es solo una aproximación a 7 cifras decimales del número irracional raíz cuadrada de 2, el cual posee infinitas cifras decimales no periódicas.

Entonces, se dice con toda propiedad que el número √2 es aproximadamente igual a 1,4142135 en 7 decimales, o bien es igual a 1,4142135… donde los tres puntos hacen referencia a los infinitos decimales que hacen falta y que jamás terminaríamos de escribir. Debido a ello, los números irracionales más conocidos son identificados mediante símbolos especiales; los tres principales son los siguientes:

1. ${\displaystyle \pi }$ (Número "pi" 3,14159...): razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.
2. e (Número "e" 2,7182...): ${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$
3. ${\displaystyle \Phi }$ (Número "áureo" 1,6180...): ${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$
4. las soluciones reales de x² - 3 = 0; de x⁵ -7 = 0; de x³ = 11; 3^x = 5; sen 7º, etc³

Los números irracionales se clasifican en dos tipos:

1. Número algebraico: Son la solución de alguna ecuación algebraica y se representan por un número finito de radicales libres o anidados en algunos casos^{n. 1} ; si "x" representa ese número, al eliminar radicales del segundo miembro mediante operaciones inversas, queda una ecuación algebraica de cierto grado. Todas las raíces no exactas de cualquier orden son irracionales algebraicos. Por ejemplo, el número áureo es una de las raíces de la ecuación algebraica ${\displaystyle \scriptstyle x^{2}-x-1=0}$, por lo que es un número irracional algebraico.
2. Número trascendente: No pueden representarse mediante un número finito de raíces libres o anidadas; provienen de las llamadas funciones trascendentes (trigonométricas, logarítmicas y exponenciales, etc.) También surgen al escribir números decimales no periódicos al azar o con un patrón que no lleva periodo definido, respectivamente, como los dos siguientes:

${\displaystyle \ 0,193650278443757}$...

${\displaystyle \ 0,101001000100001}$...

Los llamados números trascendentes tienen especial relevancia ya que no pueden ser solución de ninguna ecuación algebraica. Los números pi y e son irracionales trascendentes, puesto que no pueden expresarse mediante radicales.

Los números irracionales no son numerables, es decir, no pueden ponerse en biyección con el conjunto de los números naturales. Por extensión, los números reales tampoco son contables ya que incluyen el conjunto de los irracionales.

Propiedades[editar]

• La suma y la diferencia de un número racional y de un número irracional es un número irracional.
• El producto de un racional diferente de cero por un irracional es un número irracional.
• El cociente entre un racional no nulo y un irracional, es un número irracional.
• El inverso de un número irracional es número irracional.
• Sea un binomio, formado por un racional más un radical de segundo orden, o la suma de dos radicales de segundo orden, que es irracional. Entonces su conjugado es irracional.
• Los valores de logaritmos vulgares o naturales y los valores de las razones trigonométricas, la inmensa mayoría no numerable, son irracionales.
• El número de Gelfond (2^√2) es un número irracional trascendente⁴
• La raíz cuadrada de un número natural no cuadrado perfecto es un número irracional; también lo es la raíz enésima de un natural p que no es potencia enésima perfecta.
• Entre dos racionales distintos, existe por lo menos, un número irracional⁵
• Las razones trigonométricas de un ángulo son irracionales, excepcionalmente, una de ellas en el caso de que dos de los lados del triángulo rectángulo sean racionales.⁵
• La medida de Lebesgue de cualquier intervalo cerrado del tipo ${\displaystyle \scriptstyle [a,b]\cap \mathbb {I} \subset \mathbb {R} }$ es igual a la medida b-a. Eso implica que si existiera un procedimiento para seleccionar al azar un número de dicho intervalo, con probabilidad 1 el número obtenido sería irracional.
• Cualquier número irracional que está en un intervalo abierto de números reales es punto de acumulación de los números reales de tal intervalo, como de los números irracionales del mismo. Por ejemplo: √5 es punto de acumulación de los números reales del intervalo K = <1;4>, como también de los números irracionales de K.⁶
• El conjunto de los números irracionales es equivalente (tienen el mismo cardinal) al conjunto de los números reales.⁷

  Números Irracionales

  El concepto de números irracionales proviene de la Escuela Pitagórica, que descubrió la existencia de números irracionales, es decir que no eran enteros ni racionales como fracciones. Esta escuela, los llamó en primer lugar números inconmensurables.

  Definición de números irracionales

  ¿Qué son números irracionales? Los números irracionales tienen como definición que son números que poseen infinitas cifras decimales no periódicas, que por lo tanto no pueden ser expresados como fracciones.
  
  
  Estos números pueden haber sido descubiertos al tratar de resolver la longitud de un cuadrado según el Teorema de Pitágoras, siendo el resultado el número

  2–√o raíz cuadrada de dos, el ejemplo de números irracionales más claro e inmediato, cuya respuesta a su vez posee infinitas cifras decimales que al no poder ser fraccionado, fue llamado irracional, en el sentido de no poder escribirlo como una ración o varias raciones o fracciones.

  Para distinguir los números irracionales de los racionales, debemos tomar en cuenta que los números racionales si se pueden escribir de manera fraccionada o racional, por ejemplo: 18/5 que es igual a 3,6 por lo tanto es un número racional a diferencia de la raíz cuadrada de dos en cuyo resultado se obtienen infinito número de cifras decimales, y su fraccionamiento resulta imposible.

  Podrías intentar encontrar la respuesta en una calculadora, y según el número de decimales con la cual la tengas programada, obtendrás algunos resultados: 1.4142135 esta es la respuesta de √2 con siete decimales, pero la cifra se irá alargando pues tiene infinitos decimales. De esta manera podemos definir a los números irracionales como un decimal infinito no periódico, es decir que cualquier representación de un número irracional, solo es una aproximación en números racionales.

  10 Ejemplos de Números Irracionales

  Se les llama números irracionales a todos los números que expresan una cantidad matemática que no puede expresarse como una fracción, ya que al realizar la división los números decimales se prolongan indefinidamente. Además, no se repiten.

  La característica de que los números no se repitan es muy importante para distinguirlos, ya que esto también sirve para determinar si son representables o no, como una fracción. Por ejemplo, el producto de la división del 1 entre 3, nos va a dar como decimal periódico el número 3 hasta el infinito (0.333333333…) Pero este número sí se puede representar como fracción.

  En cambio en los números irracionales la relación de números no sigue un orden o periodicidad, y también se prolongan al infinito. Esto sucede con la raíz cuadrada del número 2. Los primeros 40 decimales son: 1,4142135623730950488016887242096980785696… que como podemos ver, no tienen una periodicidad (es decir, no hay un patrón numérico) y por lo tanto, no pueden expresarse en forma fraccionaria.

  Se cuenta el mito de que Hipaso, un estudiante de Pitágoras, durante un viaje en barco estaba estudiando las raíces cuadradas, cuando al intentar sacar la raíz cuadrada del número 2, se encontró con este resultado, y también se dio cuenta de que no era posible representarla como una fracción, lo que, según la teoría de la perfección de los números de su maestro Pitágoras, de que todo número era representable mediante una fracción, esto era algo irracional, y así se lo hizo saber a su maestro. Cuando Pitágoras lo comprobó, fue tanto el enojo de otros estudiantes, que lanzaron a Hipaso al mar.

  Dado que estos números no se pueden representar como fracciones, se les representa con ciertos signos convencionales, o con la representación de la operación matemática, principalmente las raíces cuadradas, ya que de otro modo, se tendrían que escribir muchos decimales.

  30 ejemplos de números irracionales:

  1. √31 = 5.5677643628300219221194712989185…

  2. √999 = 31.606961258558216545204213985699…

  3. √2 = 1. 4142135623730950488016887242096980785696…

  4. √3 = 1.7320508075688772935274463415059…

  5. π = 3,14159265358979323846…

  6. φ = 1.618033988749894848204586834…

  7. El número e (el número de Euler) 2,7182818284590452353602874713527…

  8. √5 = 2.2360679774997896964091736687313…

  9. √7 = 2.6457513110645905905016157536393…

  10. √11 = 3.3166247903553998491149327366707…

  11. √13 = 3.6055512754639892931192212674705…

  12. √122 = 11.045361017187260774210913843344…

  13. √15 = 3.8729833462074168851792653997824…

  14. √17 = 4.1231056256176605498214098559741…

  15. √21 = 4.582575694955840006588047193728…

  16. √22 = 4.6904157598234295545656301135445…

  17. √23 = 4.7958315233127195415974380641627…

  18. √101 = 10.04987562112089027021926491276…

  19. √500 = 22.360679774997896964091736687313…

  20. √999 = 31.606961258558216545204213985699…

  21. √1000 = 31.622776601683793319988935444327…

  22. √1001 = 31.638584039112749143106291584801…

  23. √9 = 2.080083830519041145300568243579…

  24. √6 =1.817120592832139658891211756373…

  25. √5 = 1.7099759466766969893531088725439…

  26. √7 = 1,9129311827723891011991168395488…

  27. √3 = 1,4422495703074083823216383107801…

  28. √12 = 2,2894284851066637356160844238794…

  29. √13 = 2,3513346877207574895000163399569…

  30. √33 = 3,2075343299958264875525151717195…

Ejemplo de Números irracionales

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Autor: Redacción Ejemplode.com, año 2017

Existe un grupo de números que no se pueden expresar como números enteros, ni como números fraccionarios con denominador diferente de 0, a este grupo de número se les llama números irracionales.

Los números enteros al sumarse, restarse o multiplicarse dan como resultado un número entero, que puede ser positivo o negativo.

Los números fraccionarios expresan una parte de un todo, es decir, expresan una división, que se pueden sumar o restar de números enteros o de otros números fraccionarios. Además los productos de una división expresada en una fracción, puede producir un resultado decimal con números.

Los números enteros y fraccionarios son fácilmente ubicables en una recta numérica.

Muchos matemáticos desde la época de Pitágoras, se dieron cuenta de que entre los números fraccionarios existen huecos. Al mismo tiempo encontraron resultados de operaciones matemáticas que no expresaban resultados decimales exactos ni periódicos, sino que producían resultados con decimales infinitos y que no seguían un patrón. Como estos resultados no siguen la teoría de la perfección numérica de Pitágoras, por esta característica de no seguir un patrón es que se les llamaron números irracionales. También se dieron cuenta de que estos números llenaban los huecos de la recta numérica entre los números fraccionarios.

Para expresar un número irracional, generalmente se le representa como la fórmula matemática que le da origen. Así por ejemplo, al calcular la raíz cuadrada del número 2, el resultado es un número que no sigue ningún patrón numérico, y cuyos decimales se extienden al infinito: