persentado por: santiago orozco cobo

grado: 8-1

presentado a: claudia milena ceballos

 

Números Reales

Que son?

El conjunto de los números reales pertenece en matemáticas a la recta numérica que comprende a los números racionales y a los números irracionales. Esto quiere decir que incluyen a todos los números positivos y negativos, el símbolo cero, y a los números que no pueden ser expresados mediante fracciones de dos enteros que tengan como denominador a números no nulos (excluye al denominador cero).

Un número real puede ser expresado de diferentes maneras, por un lado están los números reales que pueden ser expresados con mucha facilidad, ya que no poseen reglas complejas para hacerlo. Estos son los números enteros y los fraccionarios, como por ejemplo el número 6767 que viene a ser un entero, o también el 3434, que es un número fraccionario compuesto de dos enteros, cuyo numerador es 33 y su denominador es 44. Sin embargo, también existen otros números que pueden ser expresados bajo diferentes reglas matemáticas más complejas como números cuyos decimales son infinitos como el número ππ o 2–√2 y que sirven para realizar cálculos matemáticos pero no pueden ser representados como un símbolo numérico único.

Historia

Los egipcios dieron origen por primera vez a las fracciones comunes alrededor del año 1000 a. C.; alrededor del 500 a. C. un grupo de matemáticos griegos liderados por Pitágoras se dio cuenta de la necesidad de los números irracionales. Los números negativos fueron ideados por matemáticos indios cerca del 600, posiblemente reinventados en China poco después, pero no se utilizaron en Europa hasta el siglo XVII, si bien a finales del XVIII Leonhard Euler descartó las soluciones negativas de las ecuaciones porque las consideraba irreales. En ese siglo, en el cálculo se utilizaban números reales sin una definición precisa, cosa que finalmente sucedió con la definición rigurosa hecha por Georg Cantor en 1871.

En realidad, el estudio riguroso de la construcción total de los números reales exige tener amplios antecedentes de teoría de conjuntos y lógica matemática. Fue lograda la construcción y sistematización de los números reales en el siglo XIX por dos grandes matemáticos europeos utilizando vías distintas: la teoría de conjuntos de Georg Cantor (encajamientos sucesivos, cardinales finitos e infinitos), por un lado, y el análisis matemático de Richard Dedekind (vecindades, entornos y cortaduras de Dedekind). Ambos matemáticos lograron la sistematización de los números reales en la historia, no de manera espontánea, sino utilizando todos los avances previos en la materia: desde la antigua Grecia y pasando por matemáticos como Descartes, Newton, Leibniz, Euler, Lagrange, Gauss, Riemann, Cauchy y Weierstrass.

Evolución del concepto de número

Se sabe que los egipcios y babilónicos hacían uso de fracciones (números racionales) en la resolución de problemas prácticos. Sin embargo, fue con el desarrollo de la matemática griega cuando se consideró el aspecto filosófico de número. Los pitagóricos descubrieron que las relaciones armónicas entre las notas musicales correspondían a cocientes de números enteros, lo que les inspiró a buscar proporciones numéricas en todas las demás cosas, y lo expresaron con la máxima «todo es número».

En la matemática griega, dos magnitudes son conmensurables si es posible encontrar una tercera tal que las primeras dos sean múltiplos de la última, es decir, es posible encontrar una unidad común para la que las dos magnitudes tengan una medida entera. El principio pitagórico de que todo número es un cociente de enteros, expresaba en esta forma que cualesquiera dos magnitudes deben ser conmensurables.

Sin embargo, el ambicioso proyecto pitagórico se tambaleó ante el problema de medir la diagonal de un cuadrado, o la hipotenusa de un triángulo rectángulo, pues no es conmensurable respecto de los catetos. En notación moderna, un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 1, tiene una hipotenusa que mide raíz cuadrada de dos √2:

Si √2 = ^p⁄_q es un número racional donde ^p⁄_q está reducido a sus términos mínimos (sin factor común) entonces 2q² = p².

La expresión anterior indica que p² es un número par y por tanto p también, es decir, p = 2m. Sustituyendo obtenemos 2q² = (2m)² = 4m², y por tanto q² = 2m².

Pero el mismo argumento usado nos dice ahora que q debe ser un número par, esto es, q = 2n. Mas esto es imposible, puesto que p y q no tienen factores comunes (y hemos encontrado que 2 es un factor de ambos).

Por tanto, la suposición misma de que √2 es un número racional debe ser falsa.

Surgió entonces un dilema, ya que de acuerdo al principio pitagórico: todo número era racional, mas la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles no era conmensurable con los catetos, lo cual implicó que en adelante las magnitudes geométricas y las cantidades numéricas tendrían que tratarse por separado, hecho que tuvo consecuencias en el desarrollo de la matemática durante los dos milenios siguientes.³

Los griegos desarrollaron una geometría basada en comparaciones (proporciones) de segmentos sin hacer referencia a valores numéricos, usando diversas teorías para manejar el caso de medidas inconmensurables, como la teoría de proporciones de Eudoxo. Así, los números irracionales permanecieron a partir de entonces excluidos de la aritmética puesto que sólo podían ser tratados mediante el método de infinitas aproximaciones. Por ejemplo, los pitagóricos encontraron (en notación moderna) que si ^a⁄_b es una aproximación a √2 entonces p = a + 2b y q = a + b son tales que ^p⁄_q es una aproximación más precisa. Repitiendo el proceso nuevamente se obtienen mayores números que dan una mejor aproximación.⁴ Dado que las longitudes que expresan los números irracionales podían ser obtenidas mediante procesos geométricos sencillos pero, aritméticamente, sólo mediante procesos de infinitas aproximaciones, originó que durante 2000 años la teoría de los números reales fuese esencialmente geométrica, identificando los números reales con los puntos de una línea recta.

Nuevos avances en el concepto de número real esperaron hasta los siglos XVI y XVII, con el desarrollo de la notación algebraica, lo que permitió la manipulación y operación de cantidades sin hacer referencia a segmentos y longitudes. Por ejemplo, se encontraron fórmulas para resolver ecuaciones de segundo y tercer grado de forma mecánica mediante algoritmos, los cuales incluían raíces e incluso, en ocasiones, «números no reales» (lo que ahora conocemos como números complejos). Sin embargo, no existía aún un concepto formal de número y se seguía dando primacía a la geometría como fundamento de toda la matemática. Incluso con el desarrollo de la geometría analítica este punto de vista se mantenía vigente, pues Descartes rechazaba la idea que la geometría pudiera fundamentarse en números, puesto que para él la nueva área era simplemente una herramienta para resolver problemas geométricos.

Posteriormente, la invención del cálculo abrió un período de grandes avances matemáticos, con nuevos y poderosos métodos que permitieron por vez primera atacar los problemas relacionados con lo infinito mediante el concepto de límite. Así, un número irracional pudo ser entendido como el límite de una suma infinita de números racionales (por ejemplo, su expansión decimal). Como muestra, el número π puede estudiarse de forma algebraica (sin apelar a la intuición geométrica) mediante la serie:

{\displaystyle \pi =4\left(1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots \right)=4\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {1}{2k+1}}}

entre muchas otras expresiones similares. Para entonces, el concepto intuitivo de número real era ya el moderno, identificando sin problema un segmento con la medida de su longitud (racional o no). El cálculo abrió el paso al análisis matemático, que estudia conceptos como continuidad, convergencia, etc. Pero el análisis no contaba con definiciones rigurosas y muchas de las demostraciones apelaban aún a la intuición geométrica. Esto conllevó a una serie de paradojas e imprecisiones.

Notación

Los números reales se expresan con decimales que tienen una secuencia infinita de dígitos a la derecha de la coma decimal, como por ejemplo 324,8232. Frecuentemente también se subrepresentan con tres puntos consecutivos al final (324,823211247…), lo que significaría que aún faltan más dígitos decimales, pero que se consideran sin importancia.

Las medidas en las ciencias físicas son siempre una aproximación a un número real. No sólo es más conciso escribirlos con forma de fracción decimal (es decir, números racionales que pueden ser escritos como proporciones, con un denominador exacto) sino que, en cualquier caso, cunde íntegramente el concepto y significado del número real. En el análisis matemático los números reales son objeto principal de estudio. Puede decirse que los números reales son la herramienta de trabajo de las matemáticas de la continuidad, como el cálculo y el análisis matemático, mientras que los números enteros lo son de las matemáticas discretas, en las que está ausente la continuidad.

Se dice que un número real es recursivo si sus dígitos se pueden expresar por un algoritmo recursivo. Un número no-recursivo es aquél que es imposible de especificar explícitamente. Aun así, la escuela rusa de constructivismo supone que todos los números reales son recursivos.

Los ordenadores sólo pueden aproximarse a los números reales por números racionales; de todas maneras, algunos programas de ordenador pueden tratar un número real de manera exacta usando su definición algebraica (por ejemplo, "{\displaystyle {\sqrt {2}}}") en vez de su respectiva aproximación decimal.

Los matemáticos usan el símbolo {\displaystyle \mathbb {R} } (o, de otra forma, {\displaystyle \mathbf {R} }, la letra "R" en negrita) para representar el conjunto de todos los números reales. La notación matemática {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} se refiere a un espacio de {\displaystyle n} dimensiones de los números reales; por ejemplo, un valor {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} consiste de tres números reales y determina un lugar en un espacio de tres dimensiones.

En matemática, la palabra "real" se usa como adjetivo, con el significado de que el campo subyacente es el campo de los números reales. Por ejemplo, matriz real, función real, y Álgebra de Lie real.

Tipos de números reales

Racionales e irracionales

Un número real puede ser un número racional o un número irracional. Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros, tal como 3/4, -21/3, 5, 0, 1/2, mientras que los irracionales son todos los demás. Los números racionales también pueden describirse como aquellos cuya representación decimal es eventualmente periódica, mientras que los irracionales tienen una expansión decimal aperiódica:

Ejemplos

1/4 = 0,250000... Es un número racional puesto que es periódico a partir del tercer número decimal .

5/7 = 0,7142857142857142857.... Es racional y tiene un período de longitud 6 (repite 714285) .

{\displaystyle {\frac {{\sqrt[{3}]{7}}+1}{2}}=1{\text{,}}456465591386194\ldots } es irracional y su expansión decimal es aperiódica .

El conjunto de los números racionales se designa mediante {\displaystyle \mathbb {Q} } .

Algebraicos y transcendentes

Otra forma de clasificar los números reales es en algebraicos y trascendentes. Un número es algebraico si existe un polinomio de coeficientes racionales que lo tiene por raíz y es trascendente en caso contrario. Obviamente, todos los números racionales son algebraicos: si {\displaystyle {\frac {p}{q}}} es un número racional, con p entero y q natural, entonces es raíz de la ecuación qx=p. Sin embargo, no todos los números algebraicos son racionales.

Ejemplos

El número {\displaystyle {\frac {{\sqrt[{3}]{7}}+1}{2}}}es algebraico puesto que es una raíz del polinomio {\displaystyle 4x^{3}-6x^{2}+3x-4}

Un ejemplo de número trascendente es {\displaystyle \ln 3=1{\text{,}}09861228866811\ldots }

El conjunto de los números algebraicos se designa mediante 

{\displaystyle \mathbb {A} }.

Computables e irreductibles

Un número real se dice computable si tiene una complejidad de Kolmogórov finita, es decir, si puede escribirse un programa informático de extensión finita que genere los dígitos de dicho número. Si un número real no es computable se dice irreductible. Una definición de número irreductible es:

El conjunto de números reales computables se designa por {\displaystyle \mathbb {R} _{\rm {comp}}}. Obviamente los racionales y los algebraicos son números computables. De hecho se tiene la siguiente inclusión:

{\displaystyle \mathbb {Q} \subset \mathbb {A} \subset \mathbb {R} _{\rm {comp}}}

Además se tiene que todos estos conjuntos son numerables:

{\displaystyle {\text{card}}|\mathbb {Q} |={\text{card}}|\mathbb {A} |={\text{card}}|\mathbb {R} _{\rm {comp}}|=\aleph _{0}}

Esto implica que el conjunto de todos los números computables es un conjunto de medida nula.

Operaciones con números reales

Con números reales pueden realizarse todo tipo de operaciones básicas con diversas excepciones importantes:

1.    No existen raíces de orden par (cuadradas, cuartas, sextas, etc.) de números negativos en números reales, (aunque sí existen en el conjunto de los números complejos donde dichas operaciones sí están definidas).

2.    La división entre cero no está definida (pues cero no posee inverso multiplicativo, es decir, no existe número x tal que 0·x=1).

3.    No se puede hallar el logaritmo de un número real negativo, cualquiera sea la base de logaritmos, un número positivo distinto de 1.⁹

Estas restricciones tienen repercusiones en otras áreas de las matemáticas como el cálculo: existen asíntotas verticales en los lugares donde el denominador de una función racional tiende a cero, es decir, en aquellos valores de la variable en los que se presentaría una división entre cero, o no existe gráfica real en aquellos valores de la variable en que resulten números negativos para raíces de orden par, por mencionar un ejemplo de construcción de gráficas en geometría analítica.

Clasificación de números
Complejos ℂ	Reales ℝ Racionales ℚ Enteros ℤ Naturales ℕ 1: uno Naturales primos Naturales compuestos 0: Cero Enteros negativos Fraccionarios Fracción propia Fracción impropia Irracionales Irracionales algebraicos Trascendentes

videos:

https://www.youtube.com/watch?v=ncFaIIVTNpo

https://www.youtube.com/watch?v=ZhDcvR-eFAE&t=8s

juego:

 Juego del orden entre los números reales:

 

Observaciones:

Este juego permite manejar todo tipo de números: enteros, fraccionarios,

decimales, y todo tipo de operaciones: potencias negativas y positivas, con raíces

cuadradas y cúbicas, y con otros irracionales, para ordenarlos utilizando su

expresión decimal, sea esta exacta o aproximada. Es un juego adecuado para

concluir la última unidad de números de los alumnos del segundo ciclo de la ESO.

Se debe procurar que los alumnos hagan uso de su calculadora sólo en los casos

verdaderamente necesarios, valorándose de esta forma el que los alumnos la

sepan manejar y sepan utilizar las diversas teclas que se han ido introduciendo

hasta ahora.

Se trata de un juego para dos jugadores, con sencillas reglas. En una hora de

clase, se debe poder jugar varias partidas, intercambiándose entonces las

casillas de salida  1  y  2  entre los dos jugadores.

Nivel: 2º ciclo de la ESO

Material necesario:

- Un tablero como el de la imagen.

- Una moneda marcada con M en la cara y con m en la cruz.

- 2 fichas para cada jugador de colores diferentes. 

- Para algunos cálculos se  necesita además una calculadora científica.

Reglas del juego:

- Juego para dos jugadores.

- Cada jugador coloca sus dos fichas, en una de las casillas que tengan un 1 ó un 

2.

- El primer jugador tira la moneda. Si saca  M, (es decir cara) mueve una de sus

fichas a una casilla adyacente que contenga un número mayor; y si saca m

(cruz) mueve su ficha a una casilla adyacente situada en cualquier dirección, que

contenga un número menor. 

- El segundo jugador hace lo mismo.

- Si al moverse, un jugador puede ir a una casilla ya ocupada por su contrario,

come la ficha del adversario que tiene que volver a colocarla en sus casillas

iniciales (de  1  o  2 ).

- Si no puede mover ninguna ficha, el jugador pierde su turno.

* Si un jugador comete un error y el error es advertido por el otro, se anula la

jugada.

- Gana el jugador que consigue colocar primero sus dos fichas en las

casillas de la parte de arriba del tablero.

 Tablero del juego: